#数学 続き。二十数年前に所謂ソ連が崩壊しました。ソ連でフレンケルさんがどのように苦労し、ソ連崩壊の時期に米国に移住することについてどのように悩んだかについては著書 http://www.amazon.co.jp/dp/4163902805  に詳しく書いてあります。続く

#数学 続き。二十数年前にはロシア(ソ連)の数学者達が京大の数理研にたくさん滞在しており、ロビーのテレビでロシアのことが報道されるとロシア人数学者たちが悲痛な表情で見ていた。そういう時代。続く

#数学 続き。数理研のロビーの前の廊下付近で、若いフレンケルさんとその師匠のフェイギンさんが仲良く空手ごっこをしているのを見たことがあります。フレンケルさんだけではなく、フェイギンさんまで回し蹴りをしていた。こういうことを書いちゃうとまずいかな？続く

#数学 続き。昨晩日本のテレビに出演したフレンケルさんは若いときに日本の京都にある数学の研究所(京大数理研)に滞在していて、師匠と空手ごっこもしていた(もちろん数学がメイン)というような知識があれば、別世界の人ではないと感じて、親しみ易くなるのではないでしょうか？続く

#数学 続き。フレンケルさんが直接関わっているタイプの「ラングランズ双対性」の雰囲気にできるだけはやく近付きたい人は別の人達が書いた論文 http://arxiv.org/abs/hep-th/9202070 … を参照するのがよいと思う。(今ならもっと良い文献があると思いますが知らない。) 続く

#数学 続き。その論文を読むために必要な予備知識は2次元量子共形場理論の周辺の数学です。個人的に山田泰彦さんの『共形場理論入門』 http://www.amazon.co.jp/dp/4563006610  が世界最高の教科書だと思うのですが、絶賛品切れ中で古本に24470円の値段がついている！続く

#数学 続き。培風館さん、お願いします！！！山田泰彦さんの著書『共形場理論入門』を出して下さい。昨晩エドワード・フレンケルさんの講義がNHKで放送されたのですが、そのフレンケルさんの数学を理解するためにはその本の知識が必要です。古本で2万円超えはつらすぎ。続く

#数学 続き。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9202070 … を読めば、ルート系に付随する自由ボソン場を用いたW代数の実現を考えると、あるパラメーター(その論文ではa)の逆数を考える操作がルート系のラングランズ双対を考える操作と一致しているということがわかります。続く

#数学 続き。しかもそのようなラングランズ双対性が成立する理由は、「スクリーニング作用素があるパラメーターに対応するものとその逆数に対応するものの対で現れる」という単純な事実と「どちらを使っても同じW代数」(Virの表現論！)が得られるという事実にあることもわかります。続く

#数学 続き。フレンケルさんの講義は一般向けなのでこういうナマの複雑な数学の話は出て来ないと思います。あと物理寄りではなく、数論や群論寄りの話から出発していると思います。そして、全然違うように見えていても「同じ話だ」と言い切ることがフレンケルさんの講義の目標なのだと思う。続く

#数学 続き。NHKの番組紹介ページNHK 数学ミステリー白熱教室 http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/math/ 

#数学 続き。フェルマーの最終定理のような数論の話とスーパーストリングのような理論物理の数学の話が繋がる理由を理解するためには、鋭い高校生ならすでに気付いているはずの次の事実に注意するとよいと思う。数と函数に同じ形容詞が使われている。続く

#数学 続き。たとえば、有理数 -2/3 ←→ 有理函数 (x-1)/(x^2+1)無理数 √30 ←→ 無理数 √(x^3+x+1)超越数 π ←→ 超越函数 sin xなどなど。数の世界と函数の世界はとても似ているのです。続く

#数学 続き。数論はもちろん数側の理論です。理論物理の話は函数側の理論だとみなせます。それらの世界のあいだに類似があるなら、数論と理論物理のあいだにも類似があるということになります。このように見れば、数論と理論物理の話が繋がるのは不思議ではありません。続く

#数学 続き。19世紀の段階では以上の「数」と「函数」の類似性は明瞭に意識されていたと言って良いでしょう。20世紀に入ってそれらの中間的な世界とみなせる「有限体上の幾何」も活発に研究されるようになりました。所謂「ヴェイユのロゼッタストーン」。続く

#数学 続き。「ヴェイユのロゼッタストーン」のヴェイユさんはアンドレ・ヴェイユさんでフランス出身の20世紀の大数学者です。世間的には妹の哲学者シモーヌ・ヴェイユさんの方が有名かもしれません。自伝がおすすめ→ http://www.amazon.co.jp/dp/4431711090 

#数学 続き。アンドレ・ヴェイユさんの写真→ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Weil.html …上から二段目の左側の写真は子供のときのお兄ちゃんアンドレと妹ちゃんシモーヌです。かわいいです。しかし、アンドレ・ヴェイユさんの自伝を読むとこの時点でおそらくこの二人はすでに神童。続く

#数学 続き。『アンドレ・ヴェイユ自伝』にはお兄さんのアンドレさんがブルバキの若い数学者達の集まりに妹のシモーヌさんを連れて行った(もしくは妹がついて行った)ときの写真が掲載されています(1937)。続く

#数学 続き。写真に写っているのは、シモーヌ・ヴェイユ、アンドレ・ヴェイユ、J.デュドネ、C.エーレスマン、J.デルサルト、C.シャポーティ、H.カルタン、S.マンデルブロー、S.シュバレー。数学を知っていれば結構びびるメンバー。続く

#数学 続き。「ヴェイユのロゼッタストーン」の話もお兄さんのアンドレ・ヴェイユさんから妹のシモーヌ・ヴェイユさんへの有名な手紙(1940)の中に書かれています。その手紙の英訳→ http://www.ams.org/notices/200503/fea-weil.pdf …

#数学 続き。全然数学に興味がない人であっても、「戦争はろくでもない」とか「人種差別はろくでもない」というようなことに興味があるなら、『アンドレ・ヴェイユ自伝』やE.フレンケル著『数学の大統一に挑む』を読む価値があると思います。理由は読んでみればわかる。続く

#数学 訂正。https://twitter.com/genkuroki/status/665333963087458304 … の2つめの「無理数」は「無理函数」が正しい。訂正後：有理数 -2/3 ←→ 有理函数 (x-1)/(x^2+1)無理数 √30 ←→ 無理函数 √(x^3+x+1)超越数 π ←→ 超越函数 sin x

#数学 数学者も各国の政策失敗や混乱に翻弄されながらも楽しいことを見付けながら暮らして行こうとしている自分と同じような普通の人たちであるということ、その「普通の人たち」がどれだけ親しみを持って数学的概念を扱っているかを知ってもらえたらいいなと思いました。

#数学 本当に親しみを持てればその世界の統一性も自然に見えて来ると思います。

#数学 続き。フレンケルさんが解説しようとしている数学の世界における数論側での21世紀の発展として、Sato-Tate予想の解決が重要なのですが、どのようにしてその予想が出て来たかについては難波莞爾さんによる詳しい解説(非常に面白い)があります。続く

#数学 続き。『佐藤幹夫の数学』に掲載されているものよりも http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf … の方が色々面白いです。佐藤幹夫さんは難波完爾さんにコンピューターで計算してもらっているのですが、「難波完二様」と書かれた葉書のスキャン結果も掲載されています(笑)。

#数学 続き。集合論の本では西村・難波共著の http://www.amazon.co.jp/dp/4320110374  が個人的に好きです。その解説のスタイルが好き。数学全体に統一的感覚が通用することを著者達が読者に伝えようとしていることがよくわかる。分野を分断するようなスタイルは好きじゃない。

#数学 続き。適当に思い付いたことを脈絡もなく書いています。「数の世界」「有限体上の幾何の世界」「函数の世界」と言う言い方で数学における「ロゼッタストーン」の話をしたのですが、それぞれの世界に得手不得手があります。しかし、一般に極端に難しいのが「数の世界」。続く

#数学 続き。「数の世界」における元来のリーマン予想(素数がどれくらいあるかに関する精密な予想)はまだ証明されていません。証明すると100万ドルもらえるらしいのですが、人間の一生の値段としては安すぎると思う。続く

#数学 続き。「有限体上の曲線」に関するリーマン予想(の類似)はヴェイユさんによって一般的に証明されました。曲線の場合に限らない「有限体上の幾何」一般の場合に関するヴェイユ予想はグロタンディークとドゥリーニュによって解決されました。続く

#数学 続き。「複素数体上の幾何」(函数の世界)におけるヴェイユ予想の類似(のリーマン予想に対応する部分)もきちんと定式化されており、「解けている」と言えます(齋藤盛彦さんの混合ホッジ加群の理論)。それはD加群の代数解析の発展形です。続く

#数学 続き。リーマン予想が解けていないのは元来の数の世界における予想の部分だと言えます。続くがずっと後になる予定

#数学 続き。「フェルマーの最終定理」＝「フェルマーの定理」＝「ワイルス・テイラーの定理」とは「nが3以上の整数のとき(X,Y)に関する方程式X^n+Y^n=1の有理数解は自明なものしか存在しない。ここで自明な解とはXまたはYが0になるような解のことである」という結果。続く

#数学 続き。フェルマー予想そのものの証明は大変なのですが、その函数版の証明は易しいです。abc予想の多項式版は「多項式は微分できる」ということを使えば容易に証明でき、フェルマー予想の多項式版をそこから導くことができます。詳しくは→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf …

#数学 続き。多項式版フェルマー予想はトポロジーを使った証明もできます。「g≧1のとき、2次元球面によってg人乗りの浮き輪型の曲面を分岐被覆できない」という直観的に明らかに感じられる位相幾何学の結果を使えば次のツイートで説明する複素多項式版のフェルマー予想を証明できます。続く

#数学 続き。複素多項式版フェルマー予想(容易に証明可能)とは「nが3以上の整数のとき(X,Y)に関する方程式X^n+Y^n=1の複素有理函数解は自明なものしか存在しない。ここで自明な解とはXとYが定数になるような解のことである」という結果。位相幾何的には直観的に自明に近い。続く

#数学 数の世界と違って函数の世界では微分やら位相幾何やら使える道具が豊富なので多くの問題が易しくなります。しかし、数の世界にもよい点があって、「函数全体に渡る"積分"」(Feyman積分)にあたるものが数の世界では「数全体に渡る積分」(普通の積分)として自由にできます。続く

#数学 「有限体上の函数」の世界ではリーマン予想の類似が簡単に証明できる場合があります。素数がどれだけたくさんあるかに関するリーマン予想は解けていないのですが、有限体上の1変数既約多項式がどれだけたくさんあるかに関するリーマン予想の類似は簡単に証明できます。続く

#数学 続き。有限体上の1変数既約多項式がどれくらいあるかに関するリーマン予想の類似の証明を学生に紹介するために書いたノートを次の場所に置いてあります→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20080424_finite_field.pdf …

#数学 元来のリーマン予想についてパソコンを使って遊んでみたい人は→ http://maxima.hatenablog.jp/search?q=�%82�ータ関数 …

#数学 http://www.dailymotion.com/video/x3dqzbm_数学ミステリー白熱教室-ラングランズ-プログラムへの招待-第1回-11月13日_fun …数学ミステリー白熱教室 ラングランズ・プログラムへの招待　第1回　11月13日

#数学 http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/math/ 全体的に「対称性」の話を強調している感じになるのかな？

#数学 おすすめの本。ぼくは学生時代から次の本の大ファン。http://www.amazon.co.jp/dp/4535781222 ガロアの夢―群論と微分方程式久賀道郎面白おかしく数学的本質が分かり易く書かれているすんごい本。大学1年生でも十分に読めるように書かれている。

@genkuroki #数学 よく知っている小2の女の子に、E.フレンケルさんの写真を見せて、これは数学者だと紹介したら、「かっこいい！」「ぜんぜんちがう」と言われた。ぜんぜんちがう…。フレンケルさんはずっとイケメンのまま。

#数学 『NHK 数学ミステリー白熱教室 ラングランズプログラムへの招待』第 1 回に関する東北大助教 黒木玄さんの感想・コメントツイートまとめ+私のコメント少々 http://phasetr.com/blog/2015/11/14/『nhk-数学ミステリー白熱教室-ラングランズプログ/ …

#掛算 http://www.nhk.or.jp/hakunetsu/math/ NHK 数学ミステリー白熱教室 第2回目今晩午後11時からEテレで第1回目→ https://www.youtube.com/watch?v=ZB0CFXzQK2o …

#掛算 ラングランズ・プログラムについて一般大衆に分かり易く説明することは正直「むりげー」だと思う。フレンケルさん、一体どうするつもりなんだろうか？

#掛算 E.フレンケルさんの数学的仕事を理解するためには2次元量子共形場理論の数学の知識が必須。世界的に見ても最高の教科書である山田泰彦著『共形場理論入門』が絶賛品切れ中(古本で24466円！)。培風館さん、品切れを何とかして！ http://www.amazon.co.jp/dp/4563006610 

#掛算 ←このタグ付けは誤り。正しくは→ #数学面倒なので修正しません。ごめんなさい。指が勝手に。個人的におもしろおかしく複数の分野をまたぐ形でガロア理論を勉強したいなら久賀さんの有名な名著がおすすめ。http://www.amazon.co.jp/dp/4535781222 

#掛算 #数学 ラングランズ・プログラムの進展によってどのように不思議な数学的結果が証明されるかについてはSato-Tate予想＝佐藤sin^2予想について調べるとよい。佐藤幹夫さんのもとで計算機で計算したのが難波完爾さん。 http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo16/16_8nanba.pdf …

#掛算 #数学 数学ミステリー白熱教室関係の連続ツイートは以下の2つのリンク先でまとめて読める。https://twitter.com/genkuroki/status/665313800879390720 …https://twitter.com/genkuroki/status/665331577925144576 …

#数学 どうしてこの件で山田泰彦さんの『共形場理論入門』 http://amazon.co.jp/dp/4563006610  を絶賛しているかについて、数学的にテクニカルな話をします。山田泰彦さんのこの本は数学的内容の圧縮率が高く、しかも細部の定式化や構成に独自の工夫が多数盛り込まれています。続く

#数学 続き。E.フレンケルさんとフェイギンさんの共著の有名な仕事に任意の単純リー環に関する脇本表現の構成があって、ラングランズ双対性の証明にも本質的に使われています。フレンケルさんたちの脇本表現の構成ではリー環のある種のコホモロジーの計算が必須なのですが、～続く

#数学 続き～、山田泰彦さんの本では単なる計算だけで構成できることが示されています。リー代数のコホモロジーの計算を使う方法を共形場理論における常套手段である遮蔽カレント(screening current)を用いた計算で置き換える方法が書いてある(p.157)。クリアです。続く

#数学 続き。E.フレンケルさんとフェイギンさんは一般の単純Lie環に対してW代数を定義して、そのラングランズ双対性を示しました。W代数は結果的に自由ボソン場の実現を持つことがわかり、そして、その実現も遮蔽カレントを用いた解釈が可能です。続く

#数学 そして、自由ボソン場で書かれた遮蔽カレントが、あるパラメーターκについて、κとその逆数に対応するものがペアになって現われ、どちらを使っても同じW代数が得られることをVirasoro代数の表現論を使って証明できます。κとその逆数の関係がラングランズ双対性になっています。

#数学 そういう事情になっているので、E.フレンケルさんたちのW代数のラングランズ双対性の仕事を理解するための近道は遮蔽カレントの使い方を習得することだということになるわけです。山田泰彦さんの本ではちょうどそういうことを説明してくれています。品切れなのでとても残念です。

#数学 自由ボソン場ですでに実現されているW代数のラングランズ双対性については→ http://arxiv.org/abs/hep-th/9202070 …

#数学 ラングランズ・プログラムおよびその幾何学版(D加群版)との関連に関する文献については→ http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/Langlands_program.html …

#数学 W代数に付随する共形場理論はRiemann面上の線形常微分方程式論の量子化だと考えてよい。W代数には2つの古典極限の取り方がある。κ→0と1/κ→0の2種類。パラメーターκの逆数を取る操作でW代数のラングランズ双対性が得られ、その古典極限でも双対性が得られます。続く

#数学 続き。古典極限での双対性を使うと、Riemann面X上のG主束のモジュライ空間上のある種のD加群(保型形式の類似物)とX上のD加群(線形常微分方程式)が得られます。この対応が期待されるラングランズ対応になっていると考えられているわけです。

#数学 Riemann面の場合のラングランズ双対性にきちんと数学的証明がつけられているかどうかは知らない。

#数学 https://twitter.com/rikoushonotana/status/667698234744172544 …これはテレビでエドワード・フレンケルさんの数学ミステリー白熱教室が放送されていることに便乗して、数論サイドの話が解説されている本を売ろうとしているのかな。

#数学 昨晩放送された第2回目の数学ミステリー白熱教室はn次方程式のガロア理論に関する結構素直な解説だったみたいですね。

@genkuroki #数学 おとといのE.フレン系さんの白熱教室では algebraic number field についても説明したようですね。数学用語としての field は体と訳されるのですが、フレンケルさんの講義については片仮名英語でフィールドと訳した方が〜続く

@genkuroki #数学 続き〜ニュアンスが伝わりやすい感じもしました。number field を数体と訳すのではなく、「数のフィールド」と訳せば、「数たちが集う場所」のような意味として数学的定義を知らない人達にも伝わるかなと思いました。以下、そういうやり方で説明。続く

@genkuroki #数学 フレンケルさんは有理数たちが集うフィールドに√2を付け加えて新たな数のフィールドが作られるという話をしていました。これは中学生でも本質的に知っていることです。α=√2を有理数のフィールドに付け加えても、加減乗除が自由にできる。続く

@genkuroki #数学 しかも、中学生であっても、√2を含む加減乗除の計算で√2を-√2で置き換えても同じ計算が成立することに気付いてしまう人は多いと思う。ガロアさんもきっとそうだったのでしょう。眠いので続きは後で

@genkuroki #数学 続き。たとえば、1/(1+√2)=-1+√2 の両辺の√2を-√2で置き換えて得られる等式も成立しています。有理数フィールドに√2を付け加えてできるフィールドは√2を-√2で置き換える対称性を持っているわけです。続く

@genkuroki #数学 続き。一般に、a_iたちがフィールドＫの数であるとき、方程式x^n+a_1 x^{n-1}+…+a_1 x+a_0=0のすべての解をＫに付け加えてできるフィールドLのＫ上でのすべての対称性の集合をその方程式のガロア群と呼びます。続く

@genkuroki #数学 続き。一般に二次方程式は判別式Dの平方根√Dを-√Dに置き換える対称性を持っています。三次方程式x^3+q+px=0の場合はどうなるでしょうか？q=y^3+z^3, p=-3yzと置くと高校1年の最初に習う見たことのある式が出て来ます。続く

@genkuroki #数学 最近 #掛算 や #輪環 で話題になった x^3+y^3+z^3-3xyz が出て来ます！それが(x+y+z)(x+ωy+ω^2z)(x+ω^2y+ωz)、ω=(-1+i√3)/2と因数分解されることを使えば、三次方程式の解の公式も得られます。続く

@genkuroki #数学 続き。高1の最初で習う特別な三次式の因数分解の公式は実は三次式方程式の解の公式を作るためにもろに役に立つ公式だったわけです。こういうことはガロア理論入門では定番のネタになっており、数学的教養のひとつだと言ってよいと思います。続く

@genkuroki #数学 続き。三次方程式の解の公式を書き下すよりも、x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+ωy+ω^2z)(x+ω^2y+ωz)、ω^2+ω+1=0という綺麗な因数分解の公式をそのまま使った方が対称性がよく見えます。続く

@genkuroki #数学 続き。因数分解の公式の両辺は文字x,y,zを入れ替える操作で不変です。たとえばyとzを交換する互換と、x→y→z→xという巡回置換をしても変化しません。後者の巡回置換を右辺で見れば(y,z)→(ωy,ω^2z)という対称性がみえます。続く

@genkuroki #数学 続き。この結果から、一般の三次方程式のガロア群が「3つの文字の置換全体の集合」=「3次の置換群」になっていることと、その具体的作用がどうなっているかがわかります。高1で習う因数分解の公式はこれだけのパワーを持っているわけ！続く

@genkuroki #数学 続き。約200年前のパリに住んでいたガロア少年は方程式を解くことと方程式の対称性のあいだに深い関係があることを見抜きました。対称性の観点から方程式の構造を記述するというガロア少年のアイデアはその後の数学と物理学を完全に塗り替えることになります。続く

@genkuroki #数学 続き。x^3+y^3+z^3-3xyz=x^3+px+qの左辺の因数分解とy^3,z^3をp,qから二次方程式を解くことによって求められることを使えば一般の三次方程式の解の公式が得られる。別の因数分解の公式を使えば四次方程式も解ける！続く

@genkuroki #数学 四次方程式を解くためには(x+y+z+w)(x+y-z-w)(x-y+z-w)(x-y-z+w)=x^4+px^2+qx+rを使うのが便利。左辺は文字x,y,z,wの置換で不変なので、p,q,rはy,z,wの文字y,z,wの置換で不変な多項式。続く